如果您是工程师或工程专业的学生，您可能知道优化意味着什么。
为了获得最好的结果，找到最好的做事方式很重要。
在线性规划中，您可以使用基本解决方案来找到最佳解决方案。
但什么是基本解决方案，为什么工程师了解它们如此重要？在本文中，我将讨论什么是基本解决方案，为什么它们在工程中很重要，以及如何使用它们在不同情况下获得最佳结果。
因此，系好安全带，准备好进入基本解决方案的世界，我将在其中揭开谜团，向您展示这项技术的强大之处。
线性规划的基本解决方案
正式定义：
由 n 个变量中的 m 个方程组成的线性规划模型的解是通过根据剩余 (nm) 个变量求解 m 个变量并将 (nm) 个变量设置为零来获得的。
线性规划中的基本解决方案是解决满足一定技术要求的线性规划问题的方法。
特别地，如果向量 {ai : xi = 0} 是线性独立的，则向量 x 是多面体的基本解。
这意味着 A 中具有不为零的变量 xi 的列是线性独立的。
具有非负分量的基本解称为基本可行解 (BFS) (BFS)。
BFS 满足定义多面体的所有规则。
从几何角度看，每个 BFS 都是可行解多面体的一个角。
要找到一个基本的解决方案，您必须将 nm 个非基本的变量设置为零，并解决 m 个基本的变量。
不同的基础可能导致相同的基本解决方案，这意味着解决同一问题的方法可能不止一种。
单纯形法是一个迭代过程，从一个 BFS 移动到下一个 BFS，直到找到最佳 BFS。
在使用单纯形法找到 BFS 后，我们可以通过查看附近是否有任何其他 BFS 为目标函数提供更好的值来判断该解决方案是否是最佳解决方案。
如果没有这样的BFS，那么现在的BFS是最好的。
线性规划模型
线性规划模型涉及三个主要组成部分：决策变量、目标函数和约束条件。
目标函数和约束条件都必须是线性函数，决策变量必须是连续的。
目标函数用于增加或减少代表利润、成本、产品数量等的数字。
约束是对执行任务所需的特定资源总量的限制或限制，这些任务将决定决策变量的成功程度。
此外，一些线性规划要求所有决策变量都是非负的。
在线性规划模型中，您还可以使用整数和二进制变量。
二元变量只能有0或1的值，所以只能有0或1的值。
单纯形法
解决线性规划问题最常用的方法之一是单纯形法。
基本解在单纯形法中很重要，因为它们对应于可行域的角点，单纯形法从一个角移动到另一个角，直到找到最优解。
单纯形法是一种通过使用基本解的属性来快速找到线性规划问题最佳答案的方法。
要使用单纯形法找到最佳 BFS，我们需要为约束矩阵 A 找到一个基 B，并在除基之外的所有变量都设置为零的情况下求解系统 Ax = b。
基本变量的结果值形成 BFS。
如果存在最优解，则存在最优 BFS。
单纯形法从一个 BFS 移动到相邻的 BFS，直到它通过使用枢轴过程达到最佳 BFS。
基本解与可行解的比较
基本解和可行解的区别在于基本解不必满足任何条件。
特别是，它必须具有线性独立的向量并且 xi 具有非零值，并且 x 必须小于 0。
另一方面，可行的解决方案是适合问题限制的任何点。
但并非所有可行解都是基本可行解。
基本可行解 (BFS) 只是那些与可行解多面体的角相匹配的解。
回归基础：释放工程基础解决方案的力量
还是很难理解？让我稍微改变一下观点：
您是否厌倦了使用复杂的方法和算法来解决难题？您是否希望有一种更简单、更直接的方法来处理您的线性规划模型问题？
好吧，别担心，因为答案就在这里：根据剩余的 (nm) 个变量求解 m 个变量，并将 (nm) 个变量设置为零。
当您可以回归基础时，谁还需要听起来很花哨的算法？所以收起你的计算器，让我们开始学习简单的解决方案。
好吧，那只是一个看起来像电视广告的笑话。
现在让我们回到解释。
基本解线性规划
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用例
| 用于： | 描述： |
|---|---|
| 资源分配： | 基本解决方案可用于资源分配问题，其目标是在相互竞争的需求之间分配有限的资源。例如，公司可能需要在不同部门或项目之间分配预算。通过使用基本解决方案，他们可以找到利用资源的最佳方式来赚取最多的钱或尽可能少地花钱。 |
| 生产计划： | 在生产计划中，基本解决方案可用于找出最佳的产品组合，以赚取最多的利润。通过使用基本解决方案，公司可以找到带来最多资金和最低成本的最佳生产组合。 |
| 调度： | 基本解决方案可用于确定如何安排任务或作业，以便以最有效的方式完成它们。例如，公司可能需要计划其员工的工作时间，以确保在业务繁忙时他们有足够的员工。通过使用基本解决方案，他们可以找到安排事情的最佳方式，从而尽可能减少停机时间并完成尽可能多的工作。 |
| 供应链管理： | 在供应链管理中，目标是确保商品和服务尽可能顺利地从供应商转移到客户。例如，企业可能需要找出运输货物的最佳路线，以便将成本保持在最低水平并按时交付货物。通过使用基本解决方案，他们可以找到管理供应链的最佳计划，从而保持低成本并让客户满意。 |
| 投资组合优化： | 在投资组合优化中，目标是找到最佳投资组合以赚取最多的收益，同时承担最少的风险，可以使用基本解决方案。例如，一家投资公司可能需要找出股票、债券和其他证券的最佳组合，以帮助其客户实现投资目标。通过使用简单的解决方案，他们可以找到混合投资组合的最佳方式，从而在承担最少风险的同时获得最佳回报。 |
结论
总之，基本解决方案的思想在工程领域非常重要，可以以多种不同的方式使用。
通过了解什么是基本解决方案及其在线性规划中的作用，我们可以改进解决方案、降低成本并提高效率。
但重要的是要记住，基本解决方案不是万能的解决方案，即使它是一个强大的工具。
为了得到最好的结果，每一个问题都需要仔细的审视和思考。
作为工程师，我们需要不断研究基本解决方案和其他优化技术如何帮助我们取得进步并提出新想法。
因此，让我们认识到简单解决方案的力量，并通过使用新技术和策略不断突破可能的极限。
链接和参考
图书：
- Vasek Chvatal 的线性规划
- Jose M. Sallan 用 R 建模和求解线性规划
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