شناخت محور تقارن در هندسه

شاید به عنوان دانشجوی مهندسی یا مهندس زیاد به محور تقارن فکر نکرده باشید.

اما این ایده ساده اما قدرتمند در قلب بسیاری از برنامه های کاربردی مهم در زمینه شما قرار دارد، از طراحی پل ها و ساختمان ها گرفته تا ساخت وسایل الکترونیکی و پزشکی پیشرفته.

اگر بدانید که محور تقارن چیست و چگونه با اشکال و توابع هندسی ارتباط دارد، می‌توانید دنیایی از ایده‌ها و روش‌های جدید تفکر را باز کنید.

در این پست وبلاگ، من به طور عمیق در مورد محور تقارن صحبت خواهم کرد و نشان خواهم داد که چگونه در کار شما به عنوان یک مهندس کاربرد دارد.

پس برای دیدن دنیا به شیوه ای کاملا جدید آماده شوید.

مقدمه ای بر محور تقارن در هندسه

تعریف رسمی:

خطی خیالی که یک شکل هندسی با آن متقارن است.

محور تقارن یک مفهوم مهم در هندسه است.

بخش کلیدی ساخت اشکال و اشیایی است که متعادل و دارای تقارن هستند.

در این مقاله در مورد اینکه محور تقارن چیست و چگونه می توان از آن در هندسه به خصوص با توابع درجه دوم استفاده کرد صحبت خواهیم کرد.

تعریف محور تقارن

محور تقارن خطی است که یک جسم را از وسط می برد به طوری که هر ضلع آن مانند آینه ای از طرف دیگر به نظر می رسد.

این یک خط مستقیم خیالی است که از وسط یک شکل یا جسم می گذرد و آن را به دو قسمت یکسان تقسیم می کند که یک قسمت آن تصویر آینه ای دیگری است.

وقتی کاغذ در امتداد محور تقارن تا می شود، دو قسمت کاملاً در یک راستا قرار می گیرند.

اهمیت محور تقارن در اشکال و توابع هندسی

کاربردهای محور تقارن در اشکال هندسی

چند ضلعی های منتظم: اگر چند ضلعی n ضلع داشته باشد، n ​​محور تقارن نیز خواهد داشت.

شما می توانید از این محورهای تقارن برای تقسیم چند ضلعی به قسمت های یکسان استفاده کنید، که تشخیص ویژگی های آن را آسان تر می کند.

سهمی ها: در شکل استاندارد، که در آن y = ax2 + bx + c، معادله محور تقارن x = -b/2a است.

این فرمول برای یافتن مختصات x نقطه روی محور تقارن که راس سهمی در آن قرار دارد استفاده می شود.

هنگامی که نوبت به ایجاد یک نقطه می رسد: شما همچنین می توانید با چرخاندن 180 درجه به دور آن نقطه، متوجه متقارن بودن نمودار نسبت به یک نقطه شوید.

اگر نمودار پس از چرخش ثابت بماند، در مورد آن نقطه متقارن است.

با استفاده از این ویژگی می توانید قطعات متقارن را در اشکال و عملکردهای مختلف پیدا کنید.

تقارن توابع

توابع می توانند در مورد محور y متقارن باشند، به این معنی که اگر نمودار آنها را حول محور y بچرخانید، یکسان به نظر می رسد.

این "تقارن زوج" نامیده می شود و تابع f(-x) = f برای نشان دادن آن (x) استفاده می شود.

همچنین، توابع می توانند در مورد مبدا متقارن باشند، به این معنی که اگر نمودار 180 درجه به دور مبدا بچرخد، یکسان به نظر می رسد.

این "تقارن فرد" نامیده می شود و تابعی که آن را نشان می دهد f(-x) = -f (x) است.

درک تفاوت بین محور تقارن سهمی و هذلولی

در ریاضیات، دو نوع از رایج ترین بخش های مخروطی، سهمی و هذلولی هستند.

اگرچه هر دو شکل دارای محور تقارن خاص خود هستند، اما از بسیاری جهات یکسان نیستند.

محور تقارن سهمی

محور تقارن سهمی خطی است که از کانون می گذرد و موازی با جهت است.

هذلولی بیش از یک منحنی دارد، اما سهمی فقط یک منحنی دارد و مجانبی ندارد.

همچنین کمتر از هذلولی باز می شود.

یک سهمی دارای مقدار خروج از مرکز 1 است و مهم نیست که چقدر بزرگ یا کوچک باشد، همیشه شکل یکسانی دارد.

محور تقارن هذلولی

برخی از خطوطی که از مرکز هذلولی می گذرند مجانبی هستند.

برخلاف سهمی، دو منحنی دارد که تصاویر آینه ای از یکدیگر هستند و در جهت مخالف باز می شوند.

مرکز یک هذلولی، نقطه نیمه راه بین دو نقطه آن است.

قسمتی از خط که از نقاط هذلولی می گذرد، محور آن نامیده می شود.

محور مزدوج آن قسمتی از خطی است که از مرکز می گذرد و بر محور عرضی عمود است.

تشکیل پارابولا و ابربولا

هنگامی که یک صفحه از هر دو نیمه مخروط با زاویه ای بیشتر از شیب مخروط برش می دهد، هذلولی ایجاد می کند.

از سوی دیگر، سهمی ها زمانی ساخته می شوند که هواپیماها با مخروط هایی که با یک طرف موازی هستند برخورد کنند.

تفاوت در خروج از مرکز و نقاط تمرکز

تفاوت اصلی بین سهمی و هذلولی در مقدار خروج از مرکز آنهاست.

خروج از مرکز برای سهمی ها برابر با 1 و برای هذلولی ها بزرگتر از 1 است.

هذلولی دو نقطه کانونی دارد، یکی در هر طرف مرکز آن.

سهمی فقط یکی دارد.

معادله سهمی و رابطه آن با محور تقارن

در مطالعه سهمی ها، محور تقارن ایده مهمی است.

این خطی است که سهمی را به دو قسمت تقسیم می کند که هم اندازه و هم شکل یکدیگر هستند.

محور تقارن سهمی

یک سهمی دارای یک محور تقارن است که یک خط مستقیم است که از نقطه سهمی می گذرد.

معادله محور تقارن مختصات x نقطه ای است که دو خط به هم می رسند.

معادله محور تقارن برای یک تابع درجه دوم به شکل استاندارد، y = ax2 + bx + c، x = -b/2a است.

ویژگی های محور تقارن

محور تقارن خطی است که سهمی را به دو نیمه تقسیم می کند که هم اندازه و هم شکل یکدیگر هستند.

نقطه برخورد محور تقارن و سهمی را رأس می نامند.

اگر سهمی به بالا یا پایین باز شود، محور تقارن آن عمودی است و معادله آن یک خط عمودی است که از راس آن می گذرد.

اگر به سمت چپ یا راست باز شود دارای یک محور تقارن افقی است و معادله آن یک خط افقی است که از نقطه آن می گذرد.

معادله سهمی

در شکل استاندارد، معادله سهمی y = ax2 + bx + c است.

اینکه سهمی به بالا یا پایین باز می شود به ضریب "a" بستگی دارد.

اگر a مثبت باشد، سهمی باز می شود.

اگر a منفی باشد، سهمی باز می شود.

نقطه شروع و پایان سهمی (-b/2a, c - b2/4a) است.

این نقطه ای است که محور تقارن سهمی از آن عبور می کند.

چگونه محور تقارن یک سهمی یا تابع درجه دوم را پیدا کنیم

پیدا کردن راس

نقطه ای که سهمی یا تابع درجه دوم با محور تقارن خود برخورد می کند راس نامیده می شود.

برای رسیدن از فرم استاندارد به فرم راس، می توانید از روش "تکمیل مربع" برای پیدا کردن آن استفاده کنید.

یک تابع درجه دوم به این صورت است: y = ax2 + bx + c.

شکل راس y = a(x - h)2 + k است.

این مراحل را دنبال کنید تا نکته را پیدا کنید.

برای یافتن مختصات x راس، ضریب جمله x (b) را بر 2a تقسیم کنید: h = -b/2a.

مقدار h را در معادله اصلی، k = a(h)2 + b(h) + c قرار دهید تا مختصات y نقطه را پیدا کنید.

یافتن محور تقارن

هنگامی که می دانید راس کجاست (h، k)، می توانید معادله محور تقارن را با جایگزین کردن h به فرمول x = -b/2a بیابید.

معادله خط عمودی خواهد بود که از راس می گذرد و سهمی را به دو نیمه مساوی تقسیم می کند.

پیدا کردن رهگیری ها

اگر x و y را در معادله y = ax2 + bx + c حل کنید، می توانید بریدگی های یک سهمی یا تابع درجه دوم را پیدا کنید.

y را روی 0 قرار دهید و x را حل کنید تا x-intercepts را پیدا کنید.

x را روی 0 قرار دهید و y را حل کنید تا y-intercept را پیدا کنید.

نکته: در صورت نیاز دکمه زیرنویس را روشن کنید. اگر با زبان انگلیسی آشنایی ندارید، در دکمه تنظیمات، «ترجمه خودکار» را انتخاب کنید. قبل از اینکه زبان مورد علاقه شما برای ترجمه در دسترس قرار گیرد، ممکن است لازم باشد ابتدا روی زبان ویدیو کلیک کنید.

تعیین محور تقارن یک تابع از نمودار آن و استفاده از بازتاب

در هندسه و توابع، محور تقارن ایده بسیار مهمی است.

این خطی است که یک شکل یا نمودار را به دو قسمت تقسیم می کند که اندازه و شکل یکسانی دارند اما به نظر متفاوت هستند.

در این مقاله به نحوه استفاده از نمودار و بازتاب یک تابع برای یافتن محور تقارن آن خواهیم پرداخت.

شناسایی خط تقارن

محور تقارن یک تابع را می توان با نگاه کردن به نمودار آن و یافتن خط تقارن یافت، که خطی است که نمودار را به دو قسمت یکسان، اما تصویر آینه ای از یکدیگر تقسیم می کند.

به عنوان مثال:

• اگر نمودار در دو طرف محور y یکسان باشد، آنگاه محور y خط تقارن است.
• اگر نمودار در دو طرف محور x یکسان باشد، آنگاه محور x خط تقارن است.
• اگر نمودار با یک خط عمودی یا افقی متقارن باشد که محور x یا y نیست، خط تقارن یک خط عمودی یا افقی است که از رأس تابع می گذرد.

یافتن محور تقارن با استفاده از بازتاب

برای استفاده از انعکاس برای یافتن محور تقارن یک شکل، باید خطی رسم کنید که شکل را به دو قسمت مشابه آینه تقسیم کند.

محور تقارن چیزی است که این خط نامیده می شود.

پیدا کردن راس سهمی که پایین ترین یا بالاترین نقطه در نمودار است، مهم است.

محور تقارن یک خط عمودی است که از راس می گذرد.

معادله محور تقارن، مختصات x راس است.

برای اشکال دیگر، مانند دایره ها یا چند ضلعی ها، محور تقارن خط یا خطوطی است که شکل را به دو قسمت یکسان تقسیم می کند.

کاربردهای دنیای واقعی محور تقارن در مهندسی و طراحی

تقارن یک ایده اساسی در مهندسی و طراحی است و می توان از آن به طرق مختلف استفاده کرد.

معماری

تقارن در معماری بسیار مهم است، جایی که از آن برای ساختن ساختمان هایی که ظاهر خوبی دارند و الزامات مهندسی را برآورده می کنند، استفاده می شود.

سازه‌هایی که متقارن هستند، برنامه‌ریزی، ساخت و نگه‌داشتن آن‌ها آسان‌تر است و همچنین می‌توانند ساختمان را قوی‌تر کنند.

معماران اغلب از محور تقارن برای ساختن سازه‌هایی استفاده می‌کنند که با انعکاس اشکال، اشکال یا زوایای مشابه در سراسر یک خط مرکزی یا نقطه، متقارن هستند.

یکی از نمونه های عالی از تقارن بازتابی خالص، آرم Airbnb است.

صفحه مک در وب سایت اپل نمونه عالی دیگری از تقارن بازتابی است.

طول صفحه‌های مک بوک در دو طرف محور عمودی مرکزی یکسان است و خطوط تایپ در تیتر و عنوان فرعی نیز در دو طرف محور یکسان هستند.

مهندسی

در مهندسی، تقارن اغلب برای اطمینان از اینکه دو قسمت مشابه یک قطعه همیشه در مرکز قرار دارند و در تمام سطح آن یک شکل هستند استفاده می شود.

به عنوان مثال، از تقارن می توان برای اطمینان از اینکه یک شیار در مرکز صفحه وسط یک بلوک چفت است استفاده کرد.

می توانید از محور تقارن استفاده کنید تا مطمئن شوید که شیار در جای مناسبی قرار دارد و در تمام سطح بلوک چفت یک شکل است.

استفاده های دیگر

مورد استفاده در:	شرح:
الکترونیک	از محور تقارن برای اطمینان از متعادل بودن مدار و عملکرد پایدار استفاده می شود. به عنوان مثال، از محور تقارن می توان برای اطمینان از اینکه جریان به طور یکنواخت از یک مدار الکترونیکی عبور می کند، استفاده کرد.
فیزیک	از محور تقارن برای صحبت در مورد ویژگی‌های چیزهایی استفاده می‌شود که هنگام چرخاندن یکسان به نظر می‌رسند. به عنوان مثال، محور تقارن برای توصیف چگونگی حرکت چیزهایی مانند سیارات، ستاره ها و کهکشان ها هنگام چرخش استفاده می شود.
ریاضی	از محور تقارن برای حل معادلات و توصیف خواص اشکال هندسی استفاده می شود. به عنوان مثال، از محور تقارن برای یافتن ریشه معادلات درجه دوم و توصیف خواص سهمی، بیضی و هذلولی استفاده می شود.
زیست شناسی	از محور تقارن برای توصیف نحوه یکسان بودن موجودات زنده در هر دو طرف استفاده می شود. به عنوان مثال، بسیاری از حیوانات، مانند پروانه ها و انسان ها، دارای تقارن دو طرفه هستند، به این معنی که آنها دارای یک محور تقارن هستند که بدن آنها را به دو نیمه آینه ای تقسیم می کند.
هنر	از محور تقارن در هنر برای ساختن قطعات متعادل و متقارن استفاده می شود. به عنوان مثال از محور تقارن در بسیاری از نقاشی‌ها و مجسمه‌های کلاسیک برای ایجاد حس هماهنگی و تعادل استفاده می‌شود.

نتیجه

در نتیجه، محور تقارن ممکن است ایده ساده ای به نظر برسد، اما تأثیرات مهمی بر مهندسی و طراحی دارد که پیش بینی آن دشوار است.

اگر می دانید که چگونه محور تقارن یک شکل یا تابع را پیدا کنید، می توانید راه های جدیدی برای نگاه کردن به چیزها و ارائه ایده های جدید پیدا کنید.

اما محور تقارن ممکن است حتی مهم‌تر باشد زیرا به ما یادآوری می‌کند که تقارن و تعادل بخش‌های مهمی از همه چیز در طبیعت هستند، از اتم‌ها گرفته تا کهکشان‌ها.

با استفاده از این ایده ها در کار خود به عنوان مهندس، می توانیم طرح هایی بسازیم که کارآمدتر، ماندگارتر و زیباتر باشند، درست مانند خود جهان.

بنابراین، دفعه بعد که روی یک پروژه کار می کنید، محور تقارن و قدرت تقارن و تعادل را به خاطر بسپارید تا چیزی واقعا شگفت انگیز بسازید.