इंजीनियरिंग में बुनियादी व्यवहार्य समाधानों का परिचय

आप जानते हैं कि यदि आप इंजीनियरिंग के छात्र या इंजीनियर हैं तो सर्वोत्तम संभव परिणाम प्राप्त करने के लिए सिस्टम को अनुकूलित करने का क्या मतलब है।

एक समाधान का अनुकूलन पुलों के निर्माण से लेकर सॉफ्टवेयर बनाने तक हर चीज में सफलता की कुंजी है।

इस बिंदु पर एक बुनियादी व्यवहार्य समाधान का विचार आता है।

यह रैखिक प्रोग्रामिंग में एक बुनियादी विचार है जो आपको यह पता लगाने देता है कि संभावित समाधानों में से कौन सा सबसे अच्छा है।

लेकिन यह इतना मायने क्यों रखता है? इस लेख में, मैं बुनियादी व्यवहार्य समाधानों के बारे में बात करूँगा और वास्तविक दुनिया में इंजीनियरिंग समस्याओं को हल करने के लिए उनका उपयोग कैसे किया जा सकता है।

मैं इस बारे में बात करूंगा कि उन्हें कैसे खोजा जाए, वे किस चीज से बने हैं और वे क्यों महत्वपूर्ण हैं।

तो, चाहे आप एक अनुभवी इंजीनियर हों या एक छात्र जो अभी शुरुआत कर रहे हैं, हमारे साथ आएं क्योंकि मैं बुनियादी व्यवहार्य समाधानों की दुनिया में गोता लगाता हूं और आपको दिखाता हूं कि लीनियर प्रोग्रामिंग की शक्ति का उपयोग कैसे करें।

बुनियादी व्यवहार्य समाधान को समझना

औपचारिक परिभाषा:

एक रेखीय कार्यक्रम मॉडल का एक बुनियादी समाधान जिसमें सभी चर गैर-नकारात्मक हैं।

एक बुनियादी व्यवहार्य समाधान (बीएफएस) रैखिक प्रोग्रामिंग में एक महत्वपूर्ण विचार है जो सर्वोत्तम समाधान खोजने में मदद करता है।

एक बीएफएस गैर-शून्य चर की सबसे छोटी संभव संख्या वाला समाधान है।

यह व्यवहार्य समाधानों के पॉलीहेड्रॉन का एक कोना है।

दूसरे शब्दों में, एक बीएफएस एक बुनियादी समाधान है जो गैर-नकारात्मक बाधाओं को पूरा करता है और व्यवहार्य क्षेत्र या समस्या क्षेत्र में है।

एक इष्टतम बुनियादी व्यवहार्य समाधान ढूँढना

सर्वोत्तम बीएफएस खोजने के लिए, हमें निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

• रैखिक क्रम के लिए प्रोग्राम को मानक रूप में लिखिए।
• असमानताओं की प्रणाली को संवर्धित मैट्रिक्स में बदलें।
• पता लगाएँ कि कौन से चर बुनियादी हैं और कौन से नहीं हैं।
• अन्य चरों के संदर्भ में मूल चर क्या हैं, इसका पता लगाएं।
• केवल उन चरों का फलन प्राप्त करने के लिए जो मूलभूत नहीं हैं, इन व्यंजकों को उद्देश्य फलन में रखें।
• एक गैर-बुनियादी चर खोजें जिसे किसी भी बाधा को तोड़े बिना बढ़ाया जा सकता है और जो उद्देश्य कार्य को बेहतर बना देगा।

यह चर अब एक मूल चर है, और अन्य बुनियादी चरों में से एक अब मूल चर नहीं है।

यदि कोई इष्टतम समाधान है, तो यह उस क्षेत्र के सिरों या शीर्षों में से एक पर होना चाहिए जहां समाधान संभव हैं।

इसलिए, यदि किसी एलपी के पास इष्टतम समाधान है, तो व्यवहार्य सेट के चरम बिंदु पर इसका इष्टतम समाधान होता है।

साथ ही, यदि इष्टतम समाधान है तो हमेशा इष्टतम बीएफएस होता है।

इष्टतम बीएफएस खोजने के लिए सिम्पलेक्स विधि का उपयोग करना

सिम्पलेक्स मेथड लीनियर प्रोग्रामिंग में समस्याओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम है।

यह धुरी प्रक्रिया का उपयोग करके एक बीएफएस से "आसन्न" बीएफएस में चला जाता है।

धुरी प्रक्रिया में, एक गैर-मूल चर को मूल चर बनने के लिए चुना जाता है, और फिर वर्तमान बीएफएस का उपयोग नए बुनियादी चर के समाधान के लिए किया जाता है।

जब उद्देश्य फ़ंक्शन को बेहतर बनाने के लिए कोई गैर-मूल चर नहीं बदला जा सकता है, तो एल्गोरिथम किया जाता है।

जटिल इंजीनियरिंग समस्याओं को हल करने के लिए बुनियादी व्यवहार्य समाधान क्यों महत्वपूर्ण हैं

अभी भी समझना मुश्किल है? मैं अपना दृष्टिकोण थोड़ा बदल देता हूं:

वैसे भी सरल, व्यावहारिक उत्तर किसे चाहिए? बस सब कुछ एक साथ फेंक दो और सर्वश्रेष्ठ के लिए आशा करो।

आखिरकार, जब अराजकता इतनी अधिक मज़ेदार हो तो अनुकूलन की आवश्यकता किसे है? गैर-नकारात्मक चर की दुनिया में आपका स्वागत है, जहां सब कुछ सिर्फ एक सुझाव है और विफलता लगभग निश्चित है।

या यह है?

आइए जानें कि बुनियादी व्यवहार्य समाधानों की प्रतीत होने वाली बुनियादी अवधारणा कुछ भी बुनियादी क्यों नहीं है और क्यों वे सबसे जटिल इंजीनियरिंग समस्याओं को हल करने की कुंजी भी हो सकते हैं।

ठीक है, वह सिर्फ एक टीवी विज्ञापन की तरह दिखने के लिए बनाया गया मजाक था।

अब आइए स्पष्टीकरण पर वापस जाएं।

बुनियादी व्यवहार्य समाधान ढूँढना

एक बुनियादी व्यवहार्य समाधान (बीएफएस) एक रैखिक अनुकूलन समस्या का समाधान है जो सभी बाधाओं को पूरा करता है और गैर-शून्य चर की संख्या सबसे कम है।

प्रत्येक बीएफएस ज्यामितीय दृष्टिकोण से व्यवहार्य समाधानों के पॉलीहेड्रॉन का एक कोना है।

यदि कोई सर्वोत्तम समाधान है, तो एक सर्वोत्तम पहला कदम भी होना चाहिए।

इस लेख में, हम इस बारे में बात करेंगे कि एक प्रारंभिक बुनियादी व्यवहार्य समाधान कैसे खोजा जाए, सभी बुनियादी व्यवहार्य समाधानों को कैसे खोजा जाए, और बिना ढीले चरों के एक बुनियादी व्यवहार्य समाधान कैसे खोजा जाए।

एक प्रारंभिक बुनियादी व्यवहार्य समाधान ढूँढना

एक प्रारंभिक बुनियादी समाधान खोजने के लिए, जो रैखिक अनुकूलन समस्या के लिए काम करता है, इस पर निर्भर करते हुए, हम विभिन्न तरीकों का उपयोग कर सकते हैं।

एक तरीका यह है कि असमानताओं पर बाधाओं के लिए सुस्त चरों को जोड़ा जाए और अन्य सभी चरों को शून्य पर सेट किया जाए।

सुस्त चर मूल चर बन जाते हैं, और बाकी गैर-मूल चर होते हैं।

समस्या को हल करने का एक और तरीका दो-चरण सिंप्लेक्स विधि है।

इस पद्धति में एक प्रारंभिक मूल समाधान खोजने के लिए एक अतिरिक्त रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करना शामिल है जो व्यवहार्य है।

एक बार प्रारंभिक बुनियादी व्यवहार्य समाधान मिल जाने के बाद, सिम्पलेक्स विधि का उपयोग एक बुनियादी व्यवहार्य समाधान से अगले और फिर सर्वोत्तम समाधान तक जाने के लिए किया जा सकता है।

सभी बुनियादी व्यवहार्य समाधान ढूँढना

एक से अधिक बुनियादी समाधान हो सकते हैं जो एक रैखिक कार्यक्रम के लिए काम करते हैं।

हम सुस्त चर जोड़कर सिस्टम को बदल सकते हैं और फिर एक रैखिक कार्यक्रम के लिए सभी बुनियादी व्यवहार्य समाधान खोजने के लिए नई प्रणाली का उपयोग कर सकते हैं।

फिर, मूल समस्या के लिए मूल व्यवहार्य समाधान खोजने के लिए इन बुनियादी व्यवहार्य समाधानों का उपयोग किया जाता है।

कोई सुस्त चर के साथ एक बुनियादी व्यवहार्य समाधान ढूँढना

हमें कम-से-कम बाधाओं से छुटकारा पाने के लिए सुस्त चर का उपयोग करने की आवश्यकता है ताकि हम एक बुनियादी समाधान पा सकें जो ढीले चर के बिना काम करता हो।

एक सुस्त चर एक बाधा के दाईं ओर और बाईं ओर के बीच का अंतर है।

उदाहरण के लिए, पहली बाधा के लिए, हम एक ढीला चर x4 = 14 - 2x1 - x2 - x3 परिभाषित करते हैं। इस नए चर के संदर्भ में, पहली बाधा केवल x4 ≥ 0 के समतुल्य है, जो कि x4 के लिए सकारात्मकता बाधा है।

जब हम इन सुस्त चरों को जोड़ते हैं, तो हमें एक रेखीय कार्यक्रम मिलता है जो मूल कार्यक्रम के समान होता है, सिवाय इसके कि सभी प्रतिबंध या तो समीकरण या प्रतिबंध हैं जो कहते हैं कि कुछ सकारात्मक है।

मूल चरों का समुच्चय, जिसके मूल हल में शून्य के अलावा अन्य मान होते हैं, आधार कहलाता है।

वे चर जिनका मूल समाधान में शून्य का मान है, मूल चर नहीं हैं।

सबसे अच्छा समाधान खोजने के लिए, हमें एक सदिश x खोजने की आवश्यकता है जो सभी नियमों को पूरा करता है और उद्देश्य के लिए सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान प्राप्त करता है।

लेकिन सबसे अच्छा समाधान खोजने के लिए केवल एक समाधान खोजने की तुलना में अधिक कदम उठाने पड़ते हैं जो काम करता है और इसमें कोई सुस्त चर नहीं है।

बिना किसी सुस्त चर के मूल समाधान खोजना हमेशा संभव नहीं होता है, विशेष रूप से कम-बाधाओं वाली समस्याओं के लिए।

एक बुनियादी व्यवहार्य समाधान खोजने के लिए, आपको सिम्पलेक्स विधि या किसी अन्य रैखिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम का उपयोग करने की आवश्यकता है ताकि सभी बाधाओं को पूरा किया जा सके और सबसे कम गैर-शून्य चर हो।

मूल व्यवहार्य समाधान के गुण और महत्व

मूल व्यवहार्य समाधान के गुण

एक मूल व्यवहार्य समाधान में अधिकतम m चर होते हैं जो शून्य नहीं होते हैं और कम से कम nm चर जो शून्य होते हैं, जहाँ n निर्णय चरों की संख्या है और m बाधाओं की संख्या है।

एक बीएफएस संभावित समाधानों के पॉलीहेड्रॉन का एक कोना है, और प्रत्येक बीएफएस में एन सक्रिय बाधाएं हैं जो रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

यदि कोई सर्वोत्तम समाधान है, तो एक सर्वोत्तम पहला कदम भी होना चाहिए।

बुनियादी व्यवहार्य समाधानों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि वे रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए उत्तल समाधानों के सेट के अंत हैं।

सबसे अच्छा उत्तर खोजने के लिए, सिम्पलेक्स एल्गोरिथम बीएफएस की एक श्रृंखला के माध्यम से जाता है।

सिम्पलेक्स एल्गोरिथम सबसे अच्छे को खोजने के लिए एक संगठित तरीके से सभी बुनियादी संभावित समाधानों की खोज करता है।

बुनियादी व्यवहार्य समाधान का महत्व

संभव मूल समाधान खोजना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं का सर्वोत्तम उत्तर खोजने में मदद करता है।

यह जटिल एल्गोरिदम को शुरू करने के लिए एक जगह भी देता है और यह पता लगाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि एक रैखिक कार्यक्रम संभव है या नहीं।

एक रैखिक कार्यक्रम के लिए सभी बुनियादी व्यवहार्य समाधान खोजने के लिए, आप ढीले चर जोड़कर सिस्टम को बदल सकते हैं और फिर सभी बुनियादी व्यवहार्य समाधानों को खोजने के लिए परिवर्तित प्रणाली का उपयोग कर सकते हैं।

फिर, मूल समस्या के लिए मूल व्यवहार्य समाधान खोजने के लिए इन बुनियादी व्यवहार्य समाधानों का उपयोग किया जाता है।

वीडियो: मूल व्यवहार्य समाधान

युक्ति: यदि आपको इसकी आवश्यकता हो तो कैप्शन बटन चालू करें। यदि आप बोली जाने वाली भाषा से परिचित नहीं हैं, तो सेटिंग बटन में "स्वचालित अनुवाद" चुनें। अनुवाद के लिए आपकी पसंदीदा भाषा उपलब्ध होने से पहले आपको वीडियो की भाषा पर क्लिक करने की आवश्यकता हो सकती है।

बक्सों का इस्तेमाल करें

निष्कर्ष

जैसा कि बुनियादी व्यवहार्य समाधानों पर यह नज़र आता है, यह स्पष्ट है कि वे किसी भी इंजीनियर या इंजीनियरिंग छात्र के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं।

उपलब्ध संसाधनों का अधिकतम उपयोग करने के लिए एक जटिल प्रणाली के निर्माण के सर्वोत्तम तरीके का पता लगाने से, बुनियादी संभव समाधान सर्वोत्तम संभव परिणाम प्राप्त करने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करते हैं।

लेकिन सिर्फ उपयोगी होने से ज्यादा, वे दिखाते हैं कि गणित कितना सुरुचिपूर्ण और सुंदर हो सकता है।

यह आश्चर्यजनक है कि आप जटिल समस्याओं को समीकरणों के एक सरल सेट में उबाल सकते हैं और फिर वास्तविक दुनिया में समस्याओं को हल करने के लिए उन समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं।

यह एक अच्छा अनुस्मारक है कि इंजीनियरिंग सभी समस्याओं को हल करने के बारे में है, और यह कि गणित की शक्ति का उपयोग करके, हम ऐसे उत्तर पा सकते हैं जो कभी असंभव माने जाते थे।

इसलिए, जैसा कि आप इंजीनियरिंग के बारे में अधिक सीखते हैं, ध्यान रखें कि आपने सरल समाधानों के बारे में क्या सीखा है जो काम करते हैं और दुनिया को एक बेहतर, अधिक कुशल स्थान बनाने के लिए उनका उपयोग करते हैं।

लिंक और संदर्भ

पुस्तकें:

• रैखिक प्रोग्रामिंग: नींव और विस्तार
• रैखिक प्रोग्रामिंग: सिद्धांत और अनुप्रयोग