इंजीनियरिंग में बुनियादी समाधान का परिचय

यदि आप एक इंजीनियर या इंजीनियरिंग के छात्र हैं, तो आप जान सकते हैं कि अनुकूलन का क्या अर्थ है।

सर्वोत्तम संभव परिणाम प्राप्त करने के लिए, चीजों को करने का सबसे अच्छा तरीका खोजना महत्वपूर्ण है।

रैखिक प्रोग्रामिंग में, आप सर्वोत्तम समाधान खोजने के लिए मूल समाधान का उपयोग कर सकते हैं।

लेकिन एक बुनियादी समाधान क्या है, और इंजीनियरों के लिए उनके बारे में जानना इतना महत्वपूर्ण क्यों है? इस लेख में, मैं इस बारे में बात करूँगा कि बुनियादी समाधान क्या हैं, वे इंजीनियरिंग में क्यों महत्वपूर्ण हैं, और विभिन्न परिस्थितियों में सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त करने के लिए उनका उपयोग कैसे किया जा सकता है।

तो कमर कस लें और बुनियादी समाधानों की दुनिया में डुबकी लगाने के लिए तैयार हो जाएं, जहां मैं रहस्यों को तोड़ूंगा और आपको दिखाऊंगा कि यह तकनीक कितनी शक्तिशाली हो सकती है।

रैखिक प्रोग्रामिंग में बुनियादी समाधान

औपचारिक परिभाषा:

n चरों में m समीकरणों से युक्त एक रेखीय कार्यक्रम मॉडल का समाधान शेष (nm) चरों के संदर्भ में m चरों को हल करके और (nm) चरों को शून्य के बराबर सेट करके प्राप्त किया जाता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग में एक बुनियादी समाधान एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने का एक तरीका है जो कुछ तकनीकी आवश्यकताओं को पूरा करता है।

विशेष रूप से, सदिश x एक बहुफलक का मूल हल है यदि सदिश {ai : xi = 0} रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

इसका अर्थ यह है कि A के स्तंभ जिनमें वेरिएबल्स xi हैं जो शून्य नहीं हैं, रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

गैर-नकारात्मक घटकों के साथ एक मूल समाधान को मूल व्यवहार्य समाधान (बीएफएस) (बीएफएस) कहा जाता है।

एक बीएफएस पॉलीहेड्रॉन को परिभाषित करने वाले सभी नियमों को पूरा करता है।

प्रत्येक बीएफएस ज्यामितीय दृष्टिकोण से व्यवहार्य समाधानों के पॉलीहेड्रॉन का एक कोना है।

एक बुनियादी समाधान खोजने के लिए, आपको nm वेरिएबल्स को सेट करना होगा जो शून्य के लिए बुनियादी नहीं हैं और m वेरिएबल्स को हल करें जो बुनियादी हैं।

विभिन्न आधारों के लिए एक ही मूल समाधान की ओर ले जाना संभव है, जिसका अर्थ है कि एक ही समस्या को हल करने के एक से अधिक तरीके हो सकते हैं।

सिम्पलेक्स विधि एक पुनरावृत्त प्रक्रिया है जो एक बीएफएस से अगले बीएफएस तक जाती है जब तक कि यह सर्वश्रेष्ठ बीएफएस नहीं पाता।

बीएफएस खोजने के लिए सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करने के बाद, हम यह बता सकते हैं कि समाधान सबसे अच्छा है या नहीं, यह देखकर कि क्या आस-पास कोई अन्य बीएफएस उद्देश्य समारोह के लिए बेहतर मूल्य देता है।

अगर ऐसा कोई BFS नहीं है, तो मौजूदा BFS सबसे अच्छा है।

रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल

एक रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल में तीन मुख्य घटक शामिल होते हैं: निर्णय चर, एक उद्देश्य कार्य और बाधाएं।

उद्देश्य फलन और प्रतिबंध दोनों ही रेखीय फलन होने चाहिए, और निर्णय चर निरंतर होने चाहिए।

उद्देश्य फलन का उपयोग या तो एक संख्या को बढ़ाने या घटाने के लिए किया जाता है जो लाभ, लागत, निर्मित उत्पादों की संख्या आदि का प्रतिनिधित्व करता है।

बाधाएं एक निश्चित संसाधन की कुल राशि पर सीमाएं या प्रतिबंध हैं जो उन कार्यों को करने के लिए आवश्यक हैं जो निर्णय चर में सफलता के स्तर को निर्धारित करेंगे।

इसके अलावा, कुछ रेखीय कार्यक्रमों के लिए आवश्यक है कि सभी निर्णय चर गैर-नकारात्मक हों।

रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल में, आप पूर्णांक और बाइनरी चर का भी उपयोग कर सकते हैं।

बाइनरी वेरिएबल्स में केवल 0 या 1 का मान हो सकता है, इसलिए उनके पास केवल 0 या 1 का मान हो सकता है।

सिंप्लेक्स विधि

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले तरीकों में से एक सिम्पलेक्स विधि है।

सिंप्लेक्स विधि में मूल समाधान महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे व्यवहार्य क्षेत्र के कोने बिंदुओं के अनुरूप हैं, और सिम्प्लेक्स विधि एक कोने से दूसरे कोने तक चलती है जब तक कि एक इष्टतम समाधान नहीं मिल जाता।

सिंप्लेक्स विधि बुनियादी समाधानों के गुणों का उपयोग करके एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का सबसे अच्छा उत्तर खोजने का एक त्वरित तरीका है।

सर्वोत्तम बीएफएस खोजने के लिए सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करने के लिए, हमें बाधा मैट्रिक्स ए के लिए आधार बी खोजने की जरूरत है और सिस्टम एक्स = बी को शून्य पर सेट आधार के अलावा अन्य सभी चर के साथ हल करना होगा।

मूल चर के परिणामी मान एक BFS बनाते हैं।

यदि कोई इष्टतम समाधान मौजूद है, तो कोई इष्टतम बीएफएस मौजूद है।

सिम्प्लेक्स विधि एक बीएफएस से एक आसन्न बीएफएस तक चलती है जब तक कि यह पिवट प्रक्रियाओं का उपयोग करके इष्टतम बीएफएस तक नहीं पहुंच जाती।

बुनियादी समाधान और व्यवहार्य समाधान के बीच तुलना

एक बुनियादी समाधान और एक व्यवहार्य समाधान के बीच का अंतर यह है कि एक बुनियादी समाधान के लिए किसी भी शर्त को पूरा करना आवश्यक नहीं है।

विशेष रूप से, इसमें ऐसे सदिश होने चाहिए जो रैखिक रूप से स्वतंत्र हों और xi के लिए गैर-शून्य मान हों, और x 0 से कम होना चाहिए।

दूसरी ओर, एक व्यवहार्य समाधान कोई भी बिंदु है जो समस्या की सीमा के भीतर फिट बैठता है।

लेकिन सभी व्यवहार्य समाधान बुनियादी व्यवहार्य समाधान नहीं हैं।

मूल व्यवहार्य समाधान (बीएफएस) केवल वे हैं जो व्यवहार्य समाधानों के पॉलीहेड्रॉन के कोनों से मेल खाते हैं।

बैक टू बेसिक्स: अनलॉकिंग द पावर ऑफ बेसिक सॉल्यूशंस इन इंजीनियरिंग

अभी भी समझना मुश्किल है? मैं अपना दृष्टिकोण थोड़ा बदल देता हूं:

क्या आप कठिन समस्याओं को हल करने के लिए जटिल तरीकों और एल्गोरिदम का उपयोग करने से थक गए हैं? क्या आप चाहते हैं कि आपकी लीनियर प्रोग्राम मॉडल समस्याओं से निपटने का एक सरल, अधिक सीधा तरीका हो?

ठीक है, चिंता न करें, क्योंकि उत्तर यहाँ है: शेष (nm) चरों के संदर्भ में m चरों के लिए हल करें, और (nm) चरों को शून्य पर सेट करें।

जब आप मूल बातों पर वापस जा सकते हैं तो ऐसे एल्गोरिदम की आवश्यकता किसे है जो फैंसी लगते हैं? इसलिए अपने कैलकुलेटर को हटा दें और आइए सरल समाधानों के बारे में सीखना शुरू करें।

ठीक है, वह सिर्फ एक टीवी विज्ञापन की तरह दिखने के लिए बनाया गया मजाक था।

अब आइए स्पष्टीकरण पर वापस जाएं।

मूल समाधान रैखिक प्रोग्रामिंग

युक्ति: यदि आपको इसकी आवश्यकता हो तो कैप्शन बटन चालू करें। यदि आप बोली जाने वाली भाषा से परिचित नहीं हैं, तो सेटिंग बटन में "स्वचालित अनुवाद" चुनें। अनुवाद के लिए आपकी पसंदीदा भाषा उपलब्ध होने से पहले आपको वीडियो की भाषा पर क्लिक करने की आवश्यकता हो सकती है।

बक्सों का इस्तेमाल करें

निष्कर्ष

अंत में, इंजीनियरिंग के क्षेत्र में बुनियादी समाधान का विचार बहुत महत्वपूर्ण है और इसे कई अलग-अलग तरीकों से इस्तेमाल किया जा सकता है।

एक बुनियादी समाधान क्या है और यह रैखिक प्रोग्रामिंग में क्या करता है, यह जानकर हम समाधानों में सुधार कर सकते हैं, लागत में कटौती कर सकते हैं और उन्हें अधिक कुशल बना सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि बुनियादी समाधान एक आकार-फिट-सभी समाधान नहीं है, भले ही यह एक शक्तिशाली उपकरण हो।

सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त करने के लिए, प्रत्येक समस्या को ध्यान से देखने और विचार करने की आवश्यकता है।

इंजीनियरों के रूप में, हमें यह देखते रहने की आवश्यकता है कि कैसे बुनियादी समाधान और अन्य अनुकूलन तकनीकें हमें प्रगति करने और नए विचारों के साथ आने में मदद कर सकती हैं।

तो, आइए सरल समाधानों की शक्ति को पहचानें और नई तकनीकों और रणनीतियों का उपयोग करके जो संभव है उसकी सीमाओं को आगे बढ़ाते रहें।

लिंक और संदर्भ

पुस्तकें:

• वासेक च्वातल द्वारा लीनियर प्रोग्रामिंग
• जोस एम. सल्लन द्वारा मॉडलिंग और सॉल्विंग लीनियर प्रोग्रामिंग विथ आर