O osi symetrie ste ako študent alebo inžinier inžinierstva možno veľa nepremýšľali.
Ale táto jednoduchá, ale účinná myšlienka je jadrom mnohých dôležitých aplikácií vo vašom odbore, od navrhovania mostov a budov až po výrobu pokročilej elektroniky a medicínskych zariadení.
Ak viete, čo je os symetrie a ako súvisí s geometrickými tvarmi a funkciami, môžete otvoriť celý svet nových myšlienok a spôsobov myslenia.
V tomto blogovom príspevku budem hovoriť do hĺbky o osi symetrie a ukážem, ako to platí pre vašu prácu inžiniera.
Takže sa pripravte vidieť svet úplne novým spôsobom.
Úvod do osi symetrie v geometrii
Formálna definícia:
Pomyselná čiara, okolo ktorej je symetrický geometrický útvar.
Os symetrie je dôležitý pojem v geometrii.
Je to kľúčová súčasť vytvárania tvarov a predmetov, ktoré sú vyvážené a majú symetriu.
V tomto článku si povieme, čo je to os súmernosti a ako sa dá využiť v geometrii, najmä pri kvadratických funkciách.
Definícia osi symetrie
Os symetrie je čiara, ktorá prerezáva objekt na polovicu, takže každá strana vyzerá ako zrkadlový obraz druhej strany.
Ide o pomyselnú priamku, ktorá prechádza stredom tvaru alebo predmetu a rozdeľuje ho na dve rovnaké časti, pričom jedna časť je zrkadlovým obrazom druhej.
Keď je papier zložený pozdĺž osi symetrie, obe časti sa dokonale zarovnajú.
Význam osi symetrie v geometrických útvaroch a funkciách
Aplikácie osi symetrie v geometrických obrazcoch
Pravidelné mnohouholníky: Ak má mnohouholník n strán, bude mať aj n osí symetrie.
Tieto osi symetrie môžete použiť na rozdelenie mnohouholníka na identické časti, čo uľahčuje zistenie jeho vlastností.
Paraboly: V štandardnom tvare, kde y = ax2 + bx + c, rovnica pre os symetrie je x = -b/2a.
Tento vzorec sa používa na nájdenie x-ovej súradnice bodu na osi symetrie, kde je vrchol paraboly.
Pokiaľ ide o vytvorenie bodu: Či je graf symetrický okolo bodu, môžete tiež zistiť jeho otočením o 180° okolo tohto bodu.
Ak graf zostane po otočení rovnaký, je symetrický okolo tohto bodu.
Pomocou tejto vlastnosti môžete nájsť symetrické časti v rôznych tvaroch a funkciách.
Symetria funkcií
Funkcie môžu byť symetrické okolo osi y, čo znamená, že ak ich graf otočíte okolo osi y, bude to vyzerať rovnako.
Toto sa nazýva „párna symetria“ a funkcia f(-x) = f sa používa na jej zobrazenie (x).
Funkcie môžu byť tiež symetrické podľa počiatku, čo znamená, že ak je graf otočený o 180° okolo počiatku, bude vyzerať rovnako.
Toto sa nazýva "nepárna symetria" a funkcia, ktorá to ukazuje, je f(-x) = -f (x).
Pochopenie rozdielov medzi osou symetrie paraboly a hyperboly
V matematike sú dva z najbežnejších typov kužeľosečiek paraboly a hyperboly.
Aj keď oba tvary majú svoju os symetrie, v mnohých smeroch nie sú rovnaké.
Os symetrie paraboly
Os symetrie paraboly je priamka, ktorá prechádza ohniskom a je rovnobežná s osou.
Hyperbola má viac ako jednu krivku, ale parabola má iba jednu krivku a žiadne asymptoty.
Otvára sa tiež menej ako hyperbola.
Parabola má hodnotu excentricity 1 a bez ohľadu na to, aká je veľká alebo malá, má vždy rovnaký tvar.
Os symetrie hyperboly
Niektoré čiary, ktoré prechádzajú stredom hyperboly, sú asymptotické.
Na rozdiel od paraboly má dve krivky, ktoré sú vzájomnými zrkadlovými obrazmi a otvárajú sa v opačných smeroch.
Stred hyperboly je bod v polovici medzi jej dvoma bodmi.
Časť priamky, ktorá prechádza bodmi hyperboly, sa nazýva jej os.
Jeho konjugovaná os je časťou priamky, ktorá prechádza stredom a je kolmá na priečnu os.
Tvorba parabol a hyperbol
Keď rovina pretína obe polovice kužeľa pod uhlom väčším ako je sklon kužeľa, vytvára hyperbolu.
Na druhej strane sa paraboly vytvárajú, keď sa roviny stretávajú s kužeľmi, ktoré sú rovnobežné s jednou stranou.
Rozdiely v excentricite a zaostrovacích bodoch
Hlavným rozdielom medzi parabolou a hyperbolou je hodnota ich excentricity.
Excentricita je rovná 1 pre paraboly a väčšia ako 1 pre hyperboly.
Hyperbola má dva zaostrovacie body, jeden na každej strane od stredu.
Parabola má iba jednu.
Rovnica paraboly a jej vzťah k osi symetrie
Pri štúdiu parabol je dôležitá os symetrie.
Je to čiara, ktorá rozdeľuje parabolu na dve časti, ktoré majú rovnakú veľkosť a tvar.
Os symetrie paraboly
Parabola má os symetrie, ktorá je priamkou, ktorá prechádza bodom paraboly.
Rovnica osi súmernosti je x-ová súradnica bodu, kde sa obe priamky stretávajú.
Rovnica pre os symetrie pre kvadratickú funkciu v štandardnom tvare, y = ax2 + bx + c, je x = -b/2a.
Vlastnosti osi symetrie
Os symetrie je čiara, ktorá rozdeľuje parabolu na dve polovice, ktoré majú rovnakú veľkosť a tvar.
Bod, kde sa stretáva os symetrie a parabola, sa nazýva vrchol.
Ak sa parabola otvára nahor alebo nadol, jej os symetrie je vertikálna a jej rovnica je vertikálna čiara, ktorá prechádza jej vrcholom.
Ak sa otvára doľava alebo doprava, má vodorovnú os symetrie a jej rovnicou je vodorovná čiara, ktorá prechádza jej bodom.
Rovnica paraboly
V štandardnom tvare je rovnica pre parabolu y = ax2 + bx + c.
Či sa parabola otvorí nahor alebo nadol, závisí od koeficientu "a."
Ak je a kladné, parabola sa otvorí.
Ak je a záporné, parabola sa otvorí.
Bod, kde parabola začína a končí, je (-b/2a, c - b2/4a).
Toto je bod, ktorým prechádza os symetrie paraboly.
Ako nájsť os symetrie paraboly alebo kvadratickej funkcie
Nájdenie Vertexu
Bod, kde sa parabola alebo kvadratická funkcia stretáva s osou symetrie, sa nazýva vrchol.
Ak sa chcete dostať zo štandardného tvaru do vrcholového formulára, môžete ho nájsť pomocou metódy „dokončenie štvorca“.
Kvadratická funkcia vyzerá takto: y = ax2 + bx + c.
Vrcholový tvar je y = a(x - h)2 + k.
Ak chcete nájsť bod, postupujte podľa týchto krokov.
Ak chcete nájsť x-ovú súradnicu vrcholu, vydeľte koeficient x-člena (b) číslom 2a: h = -b/2a.
Vložte hodnotu h do pôvodnej rovnice, k = a(h)2 + b(h) + c, aby ste našli y-ovú súradnicu bodu.
Nájdenie osi symetrie
Keď už viete, kde je vrchol (h, k), môžete nájsť rovnicu pre os symetrie dosadením h do vzorca x = -b/2a.
Rovnica bude vertikálna čiara, ktorá prechádza vrcholom a rozdeľuje parabolu na dve rovnaké polovice.
Hľadanie záchytiek
Ak vyriešite pre x a y v rovnici y = ax2 + bx + c, môžete nájsť priesečníky paraboly alebo kvadratickej funkcie.
Nastavte y na 0 a vyriešte x, aby ste našli priesečníky x.
Nastavte x na 0 a vyriešte y, aby ste našli priesečník y.
Tip: Ak potrebujete, zapnite tlačidlo titulkov. Ak nie ste oboznámení s anglickým jazykom, vyberte v tlačidle nastavení „automatický preklad“. Možno budete musieť najskôr kliknúť na jazyk videa, až potom bude váš obľúbený jazyk dostupný na preklad.
Určenie osi symetrie funkcie z jej grafu a pomocou odrazu
V geometrii a funkciách je os symetrie veľmi dôležitou myšlienkou.
Je to čiara, ktorá rozdeľuje obrázok alebo graf na dve časti, ktoré majú rovnakú veľkosť a tvar, ale vyzerajú odlišne.
V tomto článku sa pozrieme na to, ako použiť graf a odraz funkcie na nájdenie jej osi symetrie.
Identifikácia línie symetrie
Os symetrie funkcie možno nájsť pohľadom na jej graf a nájdením čiary symetrie, čo je čiara, ktorá rozdeľuje graf na dve časti, ktoré sú rovnaké, ale sú vzájomnými zrkadlovými obrazmi.
Ako príklad:
- Ak je graf rovnaký na oboch stranách osi y, potom os y je priamka symetrie.
- Ak je graf rovnaký na oboch stranách osi x, potom os x je priamka symetrie.
- Ak je graf symetrický okolo zvislej alebo vodorovnej čiary, ktorá nie je osou x alebo osou y, potom je čiara symetrie vertikálnou alebo vodorovnou čiarou, ktorá prechádza vrcholom funkcie.
Nájdenie osi symetrie pomocou odrazu
Ak chcete použiť odraz na nájdenie osi symetrie postavy, musíte nakresliť čiaru, ktorá rozdelí postavu na dve zrkadlové časti, ktoré sú rovnaké.
Táto čiara sa nazýva os symetrie.
Dôležité je nájsť vrchol paraboly, ktorý je najnižším alebo najvyšším bodom grafu.
Os symetrie je vertikálna čiara, ktorá prechádza vrcholom.
Rovnica pre os symetrie je x-ová súradnica vrcholu.
V prípade iných tvarov, ako sú kruhy alebo mnohouholníky, je osou symetrie čiara alebo čiary, ktoré rozdeľujú tvar na dve rovnaké časti.
Aplikácie osi symetrie v reálnom svete v inžinierstve a dizajne
Symetria je základná myšlienka v inžinierstve a dizajne a dá sa použiť mnohými rôznymi spôsobmi.
Architektúra
Symetria je veľmi dôležitá v architektúre, kde sa používa na výrobu budov, ktoré dobre vyzerajú a spĺňajú technické požiadavky.
Štruktúry, ktoré sú symetrické, sa ľahšie plánujú, stavajú a udržiavajú a môžu tiež posilniť budovu.
Architekti často používajú os symetrie na vytváranie štruktúr, ktoré sú symetrické tým, že odrážajú formy, tvary alebo uhly, ktoré sú podobné cez stredovú čiaru alebo bod.
Skvelým príkladom čistej reflexnej symetrie je logo Airbnb.
Stránka Mac na webovej stránke Apple je ďalším skvelým príkladom reflexnej symetrie.
Obrazovky MacBooku majú rovnakú dĺžku na oboch stranách stredovej vertikálnej osi a riadky typu v nadpise a podnadpise majú rovnakú dĺžku na oboch stranách osi.
Strojárstvo
V strojárstve sa symetria často používa, aby sa zabezpečilo, že dve podobné časti súčiastky sú vždy vycentrované a majú rovnaký tvar po celom povrchu.
Napríklad symetria sa môže použiť na zabezpečenie toho, aby bola drážka vycentrovaná v strednej rovine bloku západky.
Pomocou osi symetrie sa môžete uistiť, že drážka je na správnom mieste a má rovnaký tvar po celej ploche bloku západky.
Iné použitia
| Použité v: | Popis: |
|---|---|
| Elektronika | Os symetrie sa používa na to, aby sa zabezpečilo, že obvod je vyvážený a funguje stabilne. Napríklad os symetrie možno použiť na zabezpečenie rovnomerného prúdenia prúdu cez elektronický obvod. |
| fyzika | Os symetrie sa používa na rozprávanie o vlastnostiach vecí, ktoré vyzerajú rovnako, keď sú otočené. Napríklad os symetrie sa používa na opis toho, ako sa veci ako planéty, hviezdy a galaxie pohybujú, keď sa otáčajú. |
| Matematika | Os symetrie sa používa na riešenie rovníc a popis vlastností geometrických útvarov. Napríklad os symetrie sa používa na nájdenie koreňov kvadratických rovníc a popis vlastností parabol, elips a hyperbol. |
| Biológia | Os symetrie sa používa na opis spôsobu, akým sú živé veci na oboch stranách rovnaké. Napríklad mnohé zvieratá, ako sú motýle a ľudia, majú bilaterálnu symetriu, čo znamená, že majú jedinú os symetrie, ktorá rozdeľuje ich telo na dve zrkadlové polovice. |
| čl | Os symetrie sa používa v umení na výrobu kusov, ktoré sú vyvážené a symetrické. Napríklad os symetrie sa používa v mnohých klasických maľbách a sochách, aby poskytla pocit harmónie a rovnováhy. |
Záver
Na záver možno povedať, že os symetrie sa môže zdať ako jednoduchá myšlienka, ale má dôležité účinky na inžinierstvo a dizajn, ktoré je ťažké predvídať.
Ak viete, ako nájsť os symetrie tvaru alebo funkcie, môžete nájsť nové spôsoby, ako sa na veci pozerať a prísť s novými nápadmi.
Ale os symetrie môže byť ešte dôležitejšia, pretože nám pripomína, že symetria a rovnováha sú dôležitými súčasťami všetkého v prírode, od atómov po galaxie.
Použitím týchto nápadov v našej práci inžinierov môžeme vytvárať návrhy, ktoré sú efektívnejšie, trvácnejšie a krajšie, rovnako ako samotný vesmír.
Takže, keď budete nabudúce pracovať na projekte, spomeňte si na os symetrie a silu symetrie a rovnováhy, aby ste vytvorili niečo skutočne úžasné.
Zdieľať na…
