Ви знаєте, що означає оптимізувати систему для отримання найкращого результату, якщо ви студент або інженер.
Оптимізація рішення є ключем до успіху в усьому: від налагодження мостів до створення програмного забезпечення.
У цей момент виникає ідея базового здійсненного рішення.
Це основна ідея лінійного програмування, яка дозволяє визначити, яке з набору можливих рішень є найкращим.
Але чому це так важливо? У цій статті я розповім про основні можливі рішення та про те, як їх можна використовувати для вирішення інженерних проблем у реальному світі.
Я розповім про те, як їх знайти, з чого вони зроблені та чому вони важливі.
Отже, незалежно від того, чи є ви досвідченим інженером чи студентом, який тільки починає працювати, приєднуйтесь до нас, щоб я поринув у світ базових здійсненних рішень і покажу вам, як використовувати силу лінійного програмування.
Розуміння базового можливого рішення
Формальне визначення:
Базове рішення моделі лінійної програми, у якій усі змінні невід’ємні.
Основне можливе рішення (BFS) — ключова ідея лінійного програмування, яка допомагає знаходити найкращі рішення.
BFS — це рішення з найменшою можливою кількістю ненульових змінних.
Це кут багатогранника можливих рішень.
Іншими словами, BFS - це базове рішення, яке відповідає невід'ємним обмеженням і знаходиться в здійсненній області або проблемній області.
Пошук оптимального базового можливого рішення
Щоб знайти найкращий BFS, нам потрібно зробити наступне:
- Напишіть програму в стандартній формі для лінійної послідовності.
- Перетворіть систему нерівностей на розширену матрицю.
- Визначте, які змінні є основними, а які ні.
- Визначте основні змінні в термінах інших змінних.
- Помістіть ці вирази в цільову функцію, щоб отримати функцію лише змінних, які не є основними.
- Знайдіть небазову змінну, яку можна збільшити, не порушуючи жодних обмежень, і яка покращить цільову функцію.
Ця змінна тепер є базовою змінною, а одна з інших базових змінних більше не є базовою змінною.
Якщо існує оптимальне рішення, воно повинно бути на одному з кінців або вершин області, де можливі рішення.
Отже, якщо ЛП має оптимальний розв’язок, він має оптимальний розв’язок у крайній точці можливого набору.
Крім того, завжди існує оптимальна BFS, якщо є оптимальне рішення.
Використання симплексного методу для пошуку оптимальної BFS
Симплексний метод — це алгоритм розв’язування задач лінійного програмування.
Він переміщується від однієї BFS до "сусідньої" BFS за допомогою процедури повороту.
У процедурі зведення небазова змінна вибирається, щоб стати базовою змінною, а потім поточний BFS використовується для розв’язання нових базових змінних.
Коли жодна небазова змінна не може бути змінена, щоб покращити цільову функцію, алгоритм виконується.
Чому базові можливі рішення є вирішальними для вирішення складних інженерних проблем
Усе ще важко зрозуміти? Дозвольте трохи змінити точку зору:
Кому взагалі потрібні прості, дієві відповіді? Просто киньте все разом і сподівайтеся на краще.
Зрештою, кому потрібна оптимізація, коли хаос набагато веселіший? Ласкаво просимо у світ невід’ємних змінних, де все лише пропозиція, а невдача майже безперечна.
Або це?
Давайте дослідимо, чому, здавалося б, базова концепція базових здійсненних рішень є зовсім не базовою, і чому вони можуть бути просто ключем до вирішення навіть найскладніших інженерних проблем.
Гаразд, це був просто жарт, схожий на телевізійну рекламу.
Тепер повернемося до пояснення.
Пошук основного можливого рішення
Базове можливе рішення (BFS) — це рішення задачі лінійної оптимізації, яке відповідає всім обмеженням і має найменшу кількість ненульових змінних.
Кожен BFS є кутом багатогранника можливих рішень з геометричної точки зору.
Якщо є найкраще рішення, має бути і найкращий перший крок.
У цій статті ми поговоримо про те, як знайти початкове базове можливе рішення, як знайти всі базові можливі рішення та як знайти основне можливе рішення без слабих змінних.
Пошук початкового базового можливого рішення
Ми можемо використовувати різні методи, залежно від того, як поставлено проблему, щоб знайти вихідне базове рішення, яке працює для задачі лінійної оптимізації.
Один із способів полягає в тому, щоб додати слабкі змінні до обмежень на нерівності та встановити всі інші змінні на нуль.
Залишкові змінні стають базовими змінними, а решта — небазовими змінними.
Двофазний симплексний метод – ще один спосіб вирішення проблеми.
Цей метод включає розв’язання додаткової задачі лінійного програмування, щоб знайти початкове базове рішення, яке є можливим.
Після того, як початкове базове можливе рішення знайдено, симплексний метод можна використовувати для переходу від одного базового можливого рішення до наступного, а потім до найкращого рішення.
Пошук усіх базових можливих рішень
Для лінійної програми може бути більше ніж одне базове рішення.
Ми можемо змінити систему, додавши тимчасові змінні, а потім використовувати нову систему для пошуку всіх основних можливих рішень для лінійної програми.
Потім ці базові можливі рішення використовуються для пошуку основних можливих рішень вихідної проблеми.
Пошук базового можливого рішення без зайвих змінних
Нам потрібно використовувати завислі змінні, щоб позбутися обмежень менше ніж, щоб ми могли знайти базове рішення, яке працює без зависаючих змінних.
Змінна slack — це лише різниця між правою стороною обмеження та лівою.
Наприклад, для першого обмеження ми визначаємо вільну змінну x4 = 14 - 2x1 - x2 - x3. З точки зору цієї нової змінної, перше обмеження еквівалентне просто x4 ≥ 0, яке є обмеженням позитивності для x4.
Коли ми додаємо ці вільні змінні, ми отримуємо лінійну програму, яка є такою ж, як і початкова, за винятком того, що всі обмеження є або рівняннями, або обмеженнями, які говорять, що щось є позитивним.
Сукупність базисних змінних, які мають у базовому розв’язку значення, відмінні від нуля, називають базисом.
Змінні, які мають нульове значення в базовому розв’язку, не є базовими змінними.
Щоб знайти найкраще рішення, нам потрібно знайти вектор x, який відповідає всім правилам і отримує найбільше або найменше значення для мети.
Але пошук найкращого рішення потребує більшої кількості кроків, ніж просто пошук рішення, яке працює й не має завислих змінних.
Не завжди можливо знайти базове рішення без завислих змінних, особливо для проблем із меншими обмеженнями.
Щоб знайти базове можливе рішення, вам потрібно використовувати симплекс-метод або інший алгоритм лінійного програмування, щоб знайти рішення, яке відповідає всім обмеженням і має найменшу кількість ненульових змінних.
Властивості та значення базового можливого рішення
Властивості базового можливого рішення
Базове можливе рішення має щонайбільше m змінних, які не дорівнюють нулю, і принаймні nm змінних, які дорівнюють нулю, де n — кількість змінних рішень, а m — кількість обмежень.
BFS є кутом багатогранника можливих рішень, і кожен BFS має n активних обмежень, які є лінійно незалежними.
Якщо є найкраще рішення, має бути і найкращий перший крок.
Найважливішим у базових можливих рішеннях є те, що вони є кінцями набору опуклих рішень для задачі лінійного програмування.
Щоб знайти найкращу відповідь, симплекс-алгоритм проходить серію BFS.
Симплексний алгоритм шукає всі основні можливі рішення в організований спосіб, щоб знайти найкраще.
Значення базового можливого рішення
Важливо знайти базове можливе рішення, оскільки це допомагає знайти найкращу відповідь на задачі лінійного програмування.
Це також дає старт складним алгоритмам і може бути використаний, щоб з’ясувати, чи можлива лінійна програма.
Щоб знайти всі основні здійснимі рішення для лінійної програми, ви можете змінити систему, додавши завислі змінні, а потім використати змінену систему, щоб знайти всі основні здійснимі рішення.
Потім ці базові можливі рішення використовуються для пошуку основних можливих рішень вихідної проблеми.
Відео: Основні можливі рішення
Порада: увімкніть кнопку субтитрів, якщо вона вам потрібна. Виберіть «автоматичний переклад» у кнопці налаштувань, якщо ви не знайомі з розмовною мовою. Можливо, вам доведеться спершу натиснути мову відео, перш ніж ваша улюблена мова стане доступною для перекладу.
Випадки використання
| Використовується в: | опис: |
|---|---|
| Розподіл ресурсів: | BFS можна використовувати для розподілу обмежених ресурсів між декількома проектами, щоб можна було зробити якнайбільше з найменшими витратами. Цей метод можна використовувати в багатьох сферах, як-от транспорт, сільське господарство та фінанси. |
| Оптимізація мережі: | BFS можна використовувати для покращення роботи комунікаційних, транспортних і логістичних мереж. BFS може допомогти знайти найкращі маршрути для товарів і послуг, скоротити час і гроші, витрачені на транспортування, а також пришвидшити та зробити більш точні доставки. |
| Планування виробництва: | BFS можна використовувати для планування виробництва таким чином, щоб такі ресурси, як праця, сировина та обладнання, використовувалися найкращим чином, щоб отримати від них максимальну користь. BFS може допомогти знизити виробничі витрати, скоротити відходи та підвищити ефективність. |
| Фінансове планування: | У фінансовому плануванні BFS можна використовувати для оптимізації інвестиційних портфелів, зниження ризику та повернення максимальної кількості грошей. BFS може допомогти знайти найкращий спосіб розділити активи, знизити транзакційні витрати та заробити більше грошей. |
| Управління ланцюгом поставок: | BFS можна використовувати для покращення потоку товарів і послуг від постачальників до клієнтів як частину управління ланцюгом поставок. BFS може допомогти визначити найкращу кількість запасів, щоб тримати під рукою, скоротити терміни виконання та покращити обслуговування клієнтів. |
Висновок
Коли цей погляд на основні можливі рішення підходить до завершення, стає зрозуміло, що вони є важливим інструментом для будь-якого інженера чи студента.
Від визначення найкращого способу побудови складної системи до максимального використання наявних ресурсів базові здійснимі рішення забезпечують основу для отримання найкращого результату.
Але вони не просто корисні, вони показують, наскільки елегантною та красивою може бути математика.
Дивно, що ви можете звести складні проблеми до простого набору рівнянь, а потім використовувати ці рівняння для вирішення проблем у реальному світі.
Це гарне нагадування про те, що інженерія полягає в розв’язанні проблем і що, використовуючи силу математики, ми можемо знайти відповіді, які колись вважалися неможливими.
Отже, коли ви дізнаєтеся більше про інженерію, пам’ятайте про те, що ви дізналися про прості ефективні рішення, і використовуйте їх, щоб зробити світ кращим і ефективнішим.
Посилання та посилання
Книги:
- Лінійне програмування: основи та розширення
- Лінійне програмування: теорія та застосування
Поділіться на…
