Якщо ви інженер або студент інженерного факультету, ви можете знати, що означає оптимізувати.
Щоб отримати найкращий можливий результат, важливо знайти найкращий спосіб робити речі.
У лінійному програмуванні ви можете використовувати базове рішення, щоб знайти найкраще рішення.
Але що таке базове рішення і чому інженерам так важливо знати про нього? У цій статті я розповім про те, що таке базові рішення, чому вони важливі в інженерії та як їх можна використовувати для отримання найкращих результатів у різних ситуаціях.
Тож пристебніться та готуйтеся поринути у світ базових рішень, де я розкрию таємниці та покажу вам, наскільки потужною може бути ця техніка.
Основні рішення в лінійному програмуванні
Формальне визначення:
Розв’язок моделі лінійної програми, що складається з m рівнянь із n змінними, отримується розв’язуванням для m змінних у термінах решти (nm) змінних і встановлення (nm) змінних дорівнює нулю.
Базове рішення в лінійному програмуванні — це спосіб вирішення задачі лінійного програмування, який відповідає певним технічним вимогам.
Зокрема, вектор x є базовим рішенням для многогранника, якщо вектори {ai : xi = 0} лінійно незалежні.
Це означає, що стовпці A, які мають змінні xi, які не дорівнюють нулю, є лінійно незалежними.
Базисне рішення з невід’ємними компонентами називається базовим здійсненним рішенням (BFS) (BFS).
BFS відповідає всім правилам, які визначають многогранник.
Кожен BFS є кутом багатогранника можливих рішень з геометричної точки зору.
Щоб знайти базове рішення, ви повинні встановити nm змінних, які не є базисними, рівними нулю, і вирішити m змінних, які є базовими.
Можливо, що різні основи призведуть до того самого основного рішення, що означає, що може існувати більше одного способу вирішення однієї проблеми.
Симплексний метод — це ітеративний процес, який переходить від однієї BFS до наступної BFS, поки не знайде найкращу BFS.
Після використання симплексного методу для знаходження BFS ми можемо визначити, чи є рішення найкращим, побачивши, чи інші BFS поблизу дають краще значення для цільової функції.
Якщо такого BFS немає, то поточний BFS є найкращим.
Модель лінійного програмування
Модель лінійного програмування включає три основні компоненти: змінні рішення, цільову функцію та обмеження.
І цільова функція, і обмеження мають бути лінійними функціями, а змінні рішення мають бути неперервними.
Цільова функція використовується для збільшення або зменшення числа, яке представляє прибуток, вартість, кількість виробленої продукції тощо.
Обмеження — це ліміти або обмеження загальної кількості певного ресурсу, необхідного для виконання завдань, які визначатимуть рівень успіху в змінних рішення.
Крім того, деякі лінійні програми вимагають, щоб усі змінні рішення були невід’ємними.
У моделях лінійного програмування також можна використовувати цілі чи двійкові змінні.
Двійкові змінні можуть мати лише значення 0 або 1, тому вони можуть мати значення лише 0 або 1.
Симплексний метод
Одним із найбільш використовуваних способів вирішення задач лінійного програмування є симплексний метод.
Основні рішення важливі в симплекс-методі, оскільки вони відповідають кутовим точкам допустимої області, а симплекс-метод рухається від одного кута до іншого, поки не буде знайдено оптимальне рішення.
Симплексний метод — це швидкий спосіб знайти найкращу відповідь на задачу лінійного програмування за допомогою властивостей базових рішень.
Щоб використати симплексний метод для знаходження найкращої BFS, нам потрібно знайти базис B для матриці обмежень A та розв’язати систему Ax = b з усіма змінними, окрім базису, встановленого на нуль.
Отримані значення для базових змінних утворюють BFS.
Якщо існує оптимальне рішення, то існує оптимальна BFS.
Симплексний метод переміщується від однієї BFS до сусідньої BFS, доки не буде досягнуто оптимальної BFS за допомогою основних процедур.
Порівняння між основними та можливими рішеннями
Різниця між базовим рішенням і здійсненним рішенням полягає в тому, що базове рішення не повинно відповідати жодним умовам.
Зокрема, він повинен мати вектори, які є лінійно незалежними та мають ненульові значення для xi, а x має бути менше 0.
З іншого боку, можливим рішенням є будь-яка точка, яка вписується в межі проблеми.
Але не всі здійсненні рішення є базовими здійсненними рішеннями.
Базові здійснимі рішення (BFS) — це лише ті, що відповідають кутам багатогранника здійсненних рішень.
Назад до основ: розкриття потужності базових рішень у інженерії
Усе ще важко зрозуміти? Дозвольте трохи змінити точку зору:
Вам набридло використання складних методів і алгоритмів для вирішення важких проблем? Чи бажаєте ви, щоб існував простіший і зрозуміліший спосіб вирішення проблем лінійної моделі програми?
Що ж, не хвилюйтеся, адже відповідь тут: розв’яжіть m змінних через решту (nm) змінних і встановіть (nm) змінних на нуль.
Кому потрібні химерні алгоритми, коли можна повернутися до основ? Тож відкладіть свої калькулятори та почнемо вивчати прості рішення.
Гаразд, це був просто жарт, схожий на телевізійну рекламу.
Тепер повернемося до пояснення.
Базове рішення Лінійне програмування
Порада: увімкніть кнопку субтитрів, якщо вона вам потрібна. Виберіть «автоматичний переклад» у кнопці налаштувань, якщо ви не знайомі з розмовною мовою. Можливо, вам доведеться спершу натиснути мову відео, перш ніж ваша улюблена мова стане доступною для перекладу.
Випадки використання
| Використовується в: | опис: |
|---|---|
| Розподіл ресурсів: | Базове рішення можна використовувати в задачах розподілу ресурсів, де метою є розподіл обмежених ресурсів між конкуруючими потребами. Наприклад, компанії може знадобитися розподілити свій бюджет між різними відділами або проектами. Використовуючи базові рішення, вони можуть знайти найкращий спосіб використовувати свої ресурси, щоб заробити більше грошей або витратити якомога менше. |
| Планування виробництва: | У плануванні виробництва базове рішення може бути використано для визначення найкращого поєднання продуктів для виробництва, щоб заробити найбільше грошей. Компанії можуть знайти найкращу виробничу суміш, яка приносить найбільше грошей і коштує найменше, використовуючи базове рішення. |
| Планування: | Основне рішення можна використовувати, щоб з’ясувати, як планувати завдання чи роботи, щоб їх можна було виконувати найефективнішим способом. Наприклад, компанії може знадобитися планувати робочий час своїх співробітників, щоб переконатися, що їм достатньо працівників, коли бізнес зайнятий. Використовуючи базове рішення, вони можуть визначити найкращий спосіб планування справ, щоб було якомога менше простоїв і якомога більше роботи. |
| Управління ланцюгом поставок: | В управлінні ланцюгом поставок мета полягає в тому, щоб переконатися, що товари та послуги рухаються якомога плавніше від постачальника до клієнта. Наприклад, компанії може знадобитися визначити найкращі маршрути для транспортування товарів, щоб витрати були мінімальними, а товари були доставлені вчасно. Використовуючи базові рішення, вони можуть знайти найкращий план управління ланцюгом постачання, який дозволить знизити витрати та зробити клієнтів задоволеними. |
| Оптимізація портфоліо: | Під час оптимізації портфеля, де мета полягає в тому, щоб знайти найкраще поєднання інвестицій, щоб заробити найбільше грошей з найменшим ризиком, можна використовувати базові рішення. Наприклад, інвестиційній компанії може знадобитися визначити найкраще поєднання акцій, облігацій та інших цінних паперів, щоб допомогти своїм клієнтам досягти своїх інвестиційних цілей. Використовуючи просте рішення, вони можуть знайти найкращий спосіб об’єднати свої портфелі, щоб отримати найкращі прибутки з мінімальним ризиком. |
Висновок
Підсумовуючи, ідея базового рішення є дуже важливою в галузі інженерії та може бути використана багатьма різними способами.
Знаючи, що таке базове рішення та що воно робить у лінійному програмуванні, ми можемо покращити рішення, скоротити витрати та зробити їх ефективнішими.
Але важливо пам’ятати, що базове рішення не є універсальним рішенням, навіть якщо це потужний інструмент.
Щоб отримати найкращі результати, кожну проблему потрібно ретельно розглянути та обдумати.
Як інженери, ми маємо продовжувати шукати, як базові рішення та інші методи оптимізації можуть допомогти нам досягти прогресу та придумати нові ідеї.
Отже, давайте визнаємо силу простих рішень і продовжуватимемо розширювати межі можливого, використовуючи нові техніки та стратегії.
Посилання та посилання
Книги:
- Лінійне програмування Васека Чватала
- Моделювання та вирішення лінійного програмування за допомогою R, Хосе М. Саллан
Поділіться на…
